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Inhalt Ausgabe 47 / Nov 03
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Christoph Hartmann Was hat der Mathematikunterricht mit
Mathematik zu tun? Angesichts der immer rascheren
Entwicklung der Technik läuft ein
Unterricht, der seinen Schülern nur Rezepte mitgibt, Gefahr, sie
wenige Jahre nach ihrem Abgang von der Schule oder der Universität
völlig unausgerüstet zu lassen. Das, was man auf allen Gebieten
menschlicher Tätigkeit braucht, das sind Köpfe, die fähig
sind, mit neuen Situationen fertig zu werden. Nichts als Rezepte Als ich vor einigen Tagen meinen Sohn, der gerade sein Betriebswirtschaftsstudium beendet hat, das bekanntlich sehr hohe Mathematikanteile beinhaltet, die Titelfrage stellte, antwortete er spontan : „Nichts“. Er begründete diese radikale Antwort mit seiner Erfahrung, daß im Mathematikunterricht zuviel Rezepte vermittelt und angesammelt werden, statt den Schülern beizubringen, wie man ein Problem mathematisiert und danach unter Einsatz adäquater mathematischer Hilfsmittel löst (Dieses Kernproblem des Mathematikunterrichts wird später genauer betrachtet). Mich hat die provozierende Titelfrage solange beschäftigt, wie wir diese Zeitschrift machen, und ich kam eigentlich immer zur gleichen Antwort : „immer weniger“, weil die äußeren Umstände, zugespitzt formuliert, die Erlasse und Lehrpläne, nichts anderes zuließen. Die Tatsache, daß mehrere internationale Vergleichsstudien in den letzten Jahren nachgewiesen haben, daß die deutschen Schüler beim Anwenden von Rezepten vergleichsweise gut sind, beim Problemlösen aber abfallen, bestätigt diese Ansicht. Man müßte sich daher wieder auf die wesentlichen kreativen geistigen Tätigkeiten innerhalb der Mathematik besinnen, nämlich 1. definieren und mathematisieren, Verteidigung der klassischen Inhalte der Schulmathematik Die letzten Jahre waren nicht gerade durch die Diskussion um das Wesen der Mathematik und die Propädeutik der Methoden im Rahmen die Schulmathematik geprägt. Es ging während der letzten Legislaturperiode, in der die SPD noch das Sagen hatte, d.h., als der schulformübergreifende Rahmenplan noch in der Diskussion war, um die Sicherung der grundlegenden Inhalte der Mathematik im Gymnasium. Diesen Rahmenplan hat der HPhV, an dessen Begutachtung ich seinerzeit beteiligt war, abgelehnt. Seitdem die CDU regiert, ging es um die jetzt beendete Wiederherstellung jahrgangsbezogener, schulformspezifischer Lehrpläne mit Inhalten, die einer langen Tradition entsprechen. Diese erfreuen sich breiter Zustimmung, allerdings finden sich viele Inhalte, die mit tragenden mathematischen Methoden verknüpft sind, nur im fakultativen Teil. Jedoch gehören das Dualsystem in Klasse 5, die Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal in Klasse 7, der GAUSS- und der HERON-Algorithmus in Klasse 9 und die Summensätze und der Cosinussatz der Trigonometrie in Klasse 10 in den Pflichtkanon, um nur einige zu nennen. Aus dem Blick geriet der Kern der mathematischen Arbeitsweise, nämlich das Beweisen der behaupteten Aussagen, ausgehend von den Voraussetzungen, nach den Regeln der Logik. Man vermißt einen thematischen roten Faden durch die Klassenstufen mit dem Aufzeigen von charakteristischen mathematischen Aussagen, deren Beweise die Schüler nachvollziehen sollten, um sie zu eigenen Beweisübungen zu veranlassen. Stattdessen werden nur wenige Aussagen in den Blick genommen, deren Beweise gezeigt werden sollen, beispielsweise, daß die Quadratwurzel aus 2 nicht rational ist (Was Schüler übungshalber auf Wurzeln aus beliebigen Primzahlen übertragen könnten). Wenn das Beweisen als konstituierende Geistesarbeit in der Mathematik gelernt werden soll, so müssen Themen und Situationen vorgeschlagen werden, mit denen das geübt werden kann. Da reicht keine unverbindliche Absichtserklärung an einigen Stellen des Lehrplans. Qualitätssicherung richtig verstanden Zur Zeit geht es in der hessischen Bildungspolitik
um die sogenannte Qualitätssicherung, ein Schlagwort, das zu den Lieblingsworten der
Kultusministerin zählt. Ehe jedoch die Qualität des Mathematikunterrichts
gesichert werden kann, sollte erst einmal die mathematische Qualität
des Mathematikunterrichts im Sinne der Beherrschung der fachspezifischen
Methoden, nicht nur der Reproduktion der Inhalte, wiederhergestellt werden.
Die Verfasser des jetzt gültigen gymnasialen Lehrplans für
Mathematik beabsichtigten wohl in erster Linie Begriffe, Inhalte und
auf ihnen beruhende Lösungen für die traditionellen Problemstellungen
der Schulmathematik sicherzustellen. Man könnte das ein wenig polemisch
als Einstudieren von Rezepten bezeichnen. Sie haben aber offenbar die
mathematische Arbeitsweise aus dem Blick verloren. So wird z.B. im Übergangsprofil
von der Jahrgangsstufe 10 in die gymnasiale Oberstufe auf die Struktur
mathematischer Aussagen und auf Beweismethoden gerade einmal unter Geometrie
in einem einzigen Satz mit minimalem Anforderungsgrad eingegangen: „Voraussetzung,
Behauptung, Beweis als Aufbau eines mathematischen Lehrsatzes kennen“. Leitbegriffe für einen Mathematikunterricht mit mathematischer Qualität Im Jahre 1989 hat die Fachgruppe Mathematik des HPhV in der Ära Wallmann ebenfalls unter meiner Beteiligung Leitbegriffe für die fachlichen Inhalte formuliert (s. Blickpunkt Schule 1/89, Mathematik im Gymnasium, Abschlußbericht der Fachgruppe Mathematik) die die Realisierung der wesentlichen Denkweisen und Verfahren der Mathematik im wissenschafts-propädeutischen Sinne sicherstellen sollten. Diese waren Grundbebriffe der Aussagenlogik
(Logische Grundfunktionen und Schlußregeln
und darauf beruhende Beweisverfahren) Die Erarbeitung der unter diesen Leitbegriffen subsummierten
Inhalte sollte in alters- und entwicklungsgemäßer Weise die Erfassung
der Wirklichkeit mit Hilfe der Mathematik im Rahmen des bekannten Modellbildungszyklus
ermöglichen: Mathematisierung Ich konnte 1989 die Kollegen von der grundlegenden Bedeutung der Modelle in der Mathematik überzeugen, die Revuz im eingangs erwähnten Büchlein eingängig dargelegt hatte. Gerade die Beherrschung des Modellbildungsverfahrens ist eine unabdingbare Voraussetzung für die fächerübergreifende Anwendung der Mathematik, die seit einigen Jahren, wenigstens als Absichtserklärung, in die Lehrpläne eingedrungen ist. Eine weitere Voraussetzung ist ein grundlegendes Verständnis für Algorithmen als einer Folge von Anweisungen (beispielsweise die Befehle in einem Computer-Programm), die in der Regel Funktionen berechnen. Auch die Rechenoperationen sind Funktionen. Hierzu wird weiter unten unter dem Algorithmusbegriff noch die Rede sein. Während der Recherchen zu diesem Artikel konnte ich feststellen, daß Hessen zusammen mit einigen anderen Bundesländern Bildungsstandards für Mathematik, Gymnasium Klasse 10 im Jahr 2003 veröffentlicht hat, in der sogenannte Leitideen formuliert werden (wohl in Anlehnung an Heymann), die unseren damaligen Leitbegriffen von der Gliederung der Inhalte her weitgehend entsprechen. Wenn diese Leitideen allerdings nicht zu tragenden Prinzipien mit Auswirkungen für den täglichen Unterricht erhoben werden, wird sich an der mangelnden Qualität des Unterrichts wenig ändern. Wie ergiebig beispielweise der Leitbegriff der Funktion sein kann, soll das folgende Beispiel zeigen. Ein Beispiel für die Nutzung des Leitbegriffes Funktion Wir erinnern an die Behandlung der Umkehrfunktionen zu einer Funktion f : X->Y mit Df=X und Wf=Y. Das übliche Rezept ist, daß die Funktionsgleichung y=f(x) nach x aufgelöst wird, weil man die Zuordnung umkehren möchte. Man erhält, wenn f gutartig ist, eine Funktion x = g(y) wobei y dasjenige x zugeordnet wird, das unter f auf y abgebildet wurde mit Dg= Bild(f) = {f(x)|x aus Df}. Diese hat noch den gleichen Graphen wie die Ausgangsfunktion, denn die Eingabe findet auf der y-Achse statt. Also nimmt man noch Variablentausch vor, um das zu ändern, mit dem Effekt, daß die Graphen spiegelbildlich zur Geraden y=x sind (sollte man beweisen!). Die Schüler sind zufrieden, weil das Rezept bequem ist. Doch mathematische Einsichten hat man nicht gewonnen. Wenn man den Begriff der Funktion als universelles Werkzeug interpretiert, mit dem Zuordnungen genau gehandhabt werden können, kann man allerdings wesentlich mehr mathematische Erkenntnisse gewinnen, nämlich eine allgemeine Aussage über die Umkehrbarkeit beliebiger Funktionen (Kennt jeder Mathematiklehrer aus seinem Studium). In der Tat lehrt die Anschauung sofort, daß f nur dann eindeutig umkehrbar ist, wenn das Urbild von y unter f, also die Menge Inv(y): = {x | f(x)=y } nur aus einem Element x besteht. Dies ist dann der Fall, wenn aus x<>x’ => f(x)<>f(x’) (I) oder äquivalent, aber berechenbarer, wenn aus f(x)= y =f(x’) => x=x’ (Logische Umkehrung von (I)). Dann kann man g(y):=x setzen. Will man, daß g auf ganz Y definiert werden kann, so sehen auch die Schüler sofort, daß dann für alle y aus Y die Menge Inv(y) nicht leer sein darf. Also muß es zu jedem y ein x geben mit f(x)=y. Man definiert nun: f : X->Y ist genau dann umkehrbar, wenn 1) aus f(x) = f(x’) => x=x’ (Injektivität
von f ) und es Ist f in diesem Sinne umkehrbar, so setzt man g(y):=x (dabei ist x dasjenige, das unter f auf y abgebildet wurde) und nennt g eine Umkehrfunktion zu f . Mit dieser Definition können die Schüler
leicht vermuten und auch beweisen , Es bietet sich noch an, den Strukturbegriff ins Spiel zu bringen, indem man zeigt, daß f und g die algebraischen Strukturen erhalten (Isomorphismen), die den jeweiligen Definitions-bereichen durch die Addition und die Multiplikation aufgeprägt werden. Dies ist der Gehalt des bekannten Logarithmengesetzes ln(y1 * y2) = ln(y1) + ln(y2) . In diesem Zusammenhang könnte man klären daß sowohl die Addition + als auch die Multiplikation Funktionen von RxR nach R sind, die gewissen Regeln (Axiomen) gehorchen, die auf R bzw. R+ die Zahlbereichsstruktur ausmachen. Im Schulbuch für die 10. Klasse, das die Schüler unserer Schule
benutzen, steht im Gegensatz dazu folgende, völlig unzureichende
Erklärung (soll wohl eine Definition sein) für die Umkehrfunktion
einer Funktion :
Systematische Verdrängung der Leitbegriffes Algorithmus Trotz seiner fundamentalen Bedeutung für die Mathematik führt
der Begriff des Algorithmus im Lehrplan ein Mauerblümchendasein.
So wird er in den fakultativen Bereich abgeschoben bzw. diskriminiert
als schematische Benutzung von Operationen In der Tat gibt es nicht-algorithmische
Themen in der Schulmathematik fast nicht, wie Jochen Ziegenbalg, Professor
am Institut für Mathematik und Informatik der Pädagogischen
Hochschule Karlsruhe feststellt (eine Auflistung findet man in der schriftlichen
Fassung seines Vortrags, gehalten anlässlich des 5. Dresdner Kolloquiums
zur Mathematik und ihrer Didaktik am 8. Februar 2000). Wollte man der
Einschätzung der Lehrplanmacher folgen, müßte man fast
die ganze Schulmathematik als fakultativ deklarieren. Was wird durch die Qualitätsinitiative ‘Sinus’ verbessert ? Seit die PISA- Studien immer wieder die Mittelmäßigkeit der deutschen Schüler insbesondere in Mathematik und deren Konditionierung auf Rezepte feststellten (die Ursachen wurden mehrfach an anderer Stelle in SCHIFF diskutiert, zuletzt in Heft 46/02 ‘Dieser Absturz war absehbar’), hat die BLK das bundesweite Modellversuchsprogramm SINUS „Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts“ ins Leben gerufen. Beide Teilbereiche haben sich in Hessen als Modellversuch den Titel „Gute Unterrichtspraxis“ (kurz GUP) gegeben. Das Programm bzw. der Modellversuch wurde koordiniert durch das Staatliche Schulamt Kassel und durchgeführt von Prof. Dr. W. Blum (Mathematik) und Dr. Stäudel (Naturwissenschaften) von der Universität-Gesamthochschule Kassel. Auf diesem Modellversuch basiert ein landesweites Fortbildungsprogramm (SINUS Fortbildung), das ein Angebot für Schulfachkonferenzen ist, in der Regel 4-5 Tage umfaßt, schulformorientiert ist, vor Ort an der jeweiligen Schule stattfindet und von HELP-Mitarbeitern bzw. Lehrern nordhessischer Modellversuchsschulen durchgeführt wird. Als schulbezogene Ziele der Qualitätsinitiative SINUS, mithin der Fortbildung, werden von Annerose Neeb-Fleckner, Projektleiterin für die Qualitätsinitiative SINUS im Help/Weilburg folgende aufgelistet: Auf der Unterrichtsebene (Mathematik): Die Themenbausteine, die für die Arbeit mit den Schulfachkonferenzen entwickelt werden, sollen den Fachunterricht inhaltlich und methodisch ergänzen. Der Fachunterricht soll inhaltlich anspruchsvoller werden durch Orientierung auf das Lösen von Problemen und auf fachbezogene und fachübergreifende Vernetzungen. Er soll sich an einer mathematischen Grundbildung orientieren und nicht die Einübung von Kalkülen als Schwerpunkt haben. Weiterhin soll der Fachunterricht durch mehr Schüleraktivitäten, Reflexionsphasen und Methodenvielfalt methodisch anspruchvoller werden. Auf der Ebene der Schulfachkonferenzarbeit: Das Angebot initiiert bzw. unterstützt die kollegiale Selbstevaluation (Reflexionen, Gespräche; Hospitationen; Tandem-Modell) und Qualitätsentwicklung und Qualitätssicherung in der Fachgruppe. Weitgehend allgemein wird zunächst ein inhaltlich und methodisch anspruchsvollerer Mathematikunterricht gefordert. Schaut man sich die im Internet verfügbaren Themenbausteine (Aufgaben) an, so wird man keinen Hinweis auf qualitätssichernde Leitbegriffe bzw. die typischen Arbeitsweisen der Mathematik (definieren, vermuten, beweisen) oder gar den Modellbildungszyklus finden. Sicher sind die zahlreichen durch Graphiken belebten Aufgaben und Aufgabenvarianten (genannt Öffnen von Aufgaben) und die problemorientierten Aufgabenstellungen interessant, bieten aber auch nichts grundsätzlich Neues, da viele Schulbücher mittlerweile durchaus Vergleichbares bieten. Als medieale Ergänzung zum Angebot der Schulbücher sind sie sicher empfehlenswert, wenn es da nicht einen Haken gäbe, und das sind die Kopierkosten, die einen eher seltenen Gebrauch ahnen lassen. Was die kollegiale Selbstevaluation der Fachkollegien anbelangt, so wird man über Reflexionen und gelegentliche Gespräche (bei der Vorbereitung von Vergleichsarbeiten beispielsweise) angesichts der vollen Stundenpläne und des bis in den Nachmittag reichenden Unterrichts auch trotz Weiterbildung nicht hinauskommen. Gegenseitige Hospitationen und Tandem-Modell sind sicher reizvoll, aber angesichts des fachspezifischen Lehrermangels in Mathematik und Naturwissenschaften absolut utopisch. Fazit : Die Wirkungen der Qualitätsoffensive SINUS auf den real existierenden Mathematikunterricht werden auf dem im Internet dokumentierten Niveau eher marginal sein. Man fragt sich, ob die ganze Qualitätsoffensive nichts weiter ist als ein weiterer bildungspolitischer Schnellschuß, d.h., ohne gründliche Analyse der eigentlichen Probleme des Mathematikunterrichts und Erprobung der Verbesserungsmaßnahmen (vgl. die Entwicklungszeiten in Niedersachsen im nächsten Abschnitt), da sich Anspruch und Wirklichkeit nicht decken. Ein vielversprechender kognitionstheoretischer Ansatz Eine Lösung des eingangs angesprochenen Kernproblems des Mathematikunterrichts, nämlich den Schülern beizubringen, wie man ein Problem mathematisiert und danach unter Einsatz adäquater mathematischer Hilfsmittel löst, sollte Ausgangspunkt für eine grundlegende Neuorientierung des Mathematikunterrichts werden. Gerade schwächere Schüler scheitern oft an der Aufgabe nach dem Erarbeiten und Üben von Algorithmen diese zur Lösung von Anwendungsaufgaben einzusetzen. Der gymnasiale Mathematikunterricht muß daher verstärkt darauf ausgerichtet werden, in den Köpfen der Schüler tragfähige Modellvorstellungen aufzubauen, sowohl über den innermathematischen „Betrieb“ als auch über den Prozeß der Abstraktion von Begriffen aus umgangssprachlichem Text und der Interpretation von abstrakter Mathematik durch konkrete Situationen. So formuliert es Elmar Cohors-Fresenburg, Professor für Mathematikdidaktik-Kognitionswissenschaft an der Universität Osnabrück, der in Niedersachsen die Erarbeitung eines Mathematik-Currriculums betreute, das die Modernisierung der Unterrichtsmethoden im Fach Mathematik vor dem Hintergrund der neueren Technologien zum Ziel hatte. Leitidee war die Auffassung von Mathematik als einer universellen Sprache zur präzisen Darstellung intuitiven Wissens, die es insbesondere gestattete die informationstechnische Grundbildung zu integrieren. Während eines fünfjährigen Schulversuches mit insgesamt fast tausend Schülern wurde die Neustrukturierung der Schulmathematik mit den Fundamenten Algorithmik/Mathematische Modellbildung mit Funktionen und Axiomensysteme/ Umgang mit Regelwerken für Zahlen erprobt. An dieser Stelle können natürlich keine Einzelheiten dargestellt werden. Wer mehr Details über die beschriebene Neuorientierung des Mathematikunterrichts wissen möchte, die größtenteils eine Rückbesinnung auf die algorithmischen und axiomatischen Grundlagen der Mathematik darstellt, der findet in dem neunseitigen Aufsatz Mathematik als Werkzeug der Wissensrepräsentation: das Osnabrücker Curriculum von Elmar Cohors-Fresenborg in der Zeitschrift Der Mathematikunterricht, Heft 1/2001 ausführliche Informationen. Dort sind die Lehrpläne für die Klassen 7 - 10 abgedruckt und sind die neu entwickelten Textbücher für Schüler bzw. die zugehörigen Lehrerhandbücher aufgelistet. Sie können über das FMD (Forschungsinstitut für Mathematik Didaktik e.V.), Postfach 1847, 49008 Osnabrück bezogen werden. |
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